在ΔABC中,∠C=30°,∠ABC=90°,点D、E分别是AB、AC上一点,BD=CE,点F为AC的中点,连接DF,点
在ΔABC中,∠C=30°,∠ABC=90°,点D、E分别是AB、AC上一点,BD=CE,点F为AC的中点,连接DF,点G为FD中点,连接AG、BE.
（2）延长AG交BE于M,过F作FN∥BE交AM于N,若GN=1,EM=2,求BM的长度?
（禁用四点共圆!
（2）延长AG交BE于M,过F作FN∥BE交AM于N,若GN=1,EM=2,求BM的长度?
（禁用四点共圆!
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⑴,证明：延长GM至H,使GH=AG,连接DH,
∵GD=GF.
四边形ADHF是平行四边形⇒FH=AD,AF=DH.
∵在RtΔABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AF=CF.
连接BF.
∴BF=AF=CF=AB,∠BAF=∠ABF=∠AFB=60°.
∵BD=CE.∴AD=EF=FH.
易得∠HDA=∠BFE=120°.∵DH=AF.∴DH=AF.
∴ΔADH≌ΔBFE（SAS）⇒AH=BE=2AG.
⑵,由⑴可知∠EFH=∠BAC=60°⇒∠AFH=60°=∠AFB.
∠HAD=∠AHF=∠BEF.
∵FN//BE⇒∠AFN=∠AEM.
∵∠HAD+∠HAE=∠BAC=∠AEB+∠HAE=∠AFN+∠HAE=60°.
∵∠EBF=∠AHD=∠HAF.
∴A、B、M、F四点共圆⇒∠AMF=∠ABF=60°⇒ΔFMN是等边Δ.
∴∠EFH+∠MFH=∠MFN+∠MFH⇒∠EFM=∠HFN.
∴ΔEFM≌ΔHFN（AAS）⇒ME=NH=2.
AH=BE=2AG=2GH=2（GN+ME）=2（1+2）
=6.
∴BM=BE-EM=6-2
=4.
（不用四点共圆该题十分困难!）
∵GD=GF.
四边形ADHF是平行四边形⇒FH=AD,AF=DH.
∵在RtΔABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AF=CF.
连接BF.
∴BF=AF=CF=AB,∠BAF=∠ABF=∠AFB=60°.
∵BD=CE.∴AD=EF=FH.
易得∠HDA=∠BFE=120°.∵DH=AF.∴DH=AF.
∴ΔADH≌ΔBFE（SAS）⇒AH=BE=2AG.
⑵,由⑴可知∠EFH=∠BAC=60°⇒∠AFH=60°=∠AFB.
∠HAD=∠AHF=∠BEF.
∵FN//BE⇒∠AFN=∠AEM.
∵∠HAD+∠HAE=∠BAC=∠AEB+∠HAE=∠AFN+∠HAE=60°.
∵∠EBF=∠AHD=∠HAF.
∴A、B、M、F四点共圆⇒∠AMF=∠ABF=60°⇒ΔFMN是等边Δ.
∴∠EFH+∠MFH=∠MFN+∠MFH⇒∠EFM=∠HFN.
∴ΔEFM≌ΔHFN（AAS）⇒ME=NH=2.
AH=BE=2AG=2GH=2（GN+ME）=2（1+2）
=6.
∴BM=BE-EM=6-2
=4.
（不用四点共圆该题十分困难!）
1年前
10
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