已知f（x）=x3+ax2+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为n＝(1，3)．

已知f（x）=x3+ax2+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为
n
＝(1，3)．
（1）若x＝
2
3
是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[[3/2，2
牛古 1年前 已收到1个回答 举报
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ana-shuier 花朵

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解题思路：（1）由题意可得：C=2，f′（1）=3+2a+b=3并且f′（
2
3]）=[4/3]+[4a/3]+b=0，所以可得：a=2，b=-4，c=2．
（2）由题意可得：2a=-b，所以f′（x）=3x2-bx+b，根据函数f（x）在区间[[3/2
，2]单调递增，可得b≤
3x2
x−1]在[[3/2
，2]上恒成立，再利用函数求最值得方法求出g（x）=
3x2
x−1]的最小值，即可得到答案．

（1）由题意可得：f′（x）=3x2+2ax+b，因为函数的图象与y轴交于点（0，2），所以C=2…①又因为在x=1处切线的方向向量为n＝(1，3)，所以f′（1）=3+2a+b=3…②因为x＝23是函数f（x）的极值点，所以f′（23）=43+4a3+...

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义，以及熟练掌握恒成立问题与求最值问题之间的相互转化．

1年前

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