高数求曲线积分

这个要利用到曲线积分的轮换对称性,轮换x→y,y→z,z→x,球面与平面的方程不变,所以曲线L具有轮换对称性在,那么就有等式：∫f(x,y,z)ds=∫f(y,z,x)ds=∫f(z,x,y)ds.
对于本题,∫ xds=1/3∫(x+y+z)ds=1/3∫ 0ds=0,∫ x^2ds=1/3∫(x^2+y^2+z^2)ds=1/3∫ a^2ds.另外注意到,平面过球心,所以L是一个半径为a的圆,其周长是2πa.所以,∫ x^2ds=1/3∫ a^2ds=1/3×a^2×2πa=2πa^3/3.
所以,∫ (x^2+4x)=2πa^3/3.