如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP

解题思路：（1）做题首先要画示意图，如图．由折叠知，△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，进而可由AB边的关系知，若E平分FP，则BP=

1

3

AB，AP=

2

3

AB．由已知分析易得CP⊥QP，则△QAP∽△PBC，即由边之间的成比例得关于AQ的方程，解出即可．
（2）由（1）易得EP=BP，FP=AP，PB+AP=10．线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2则表示EF=2，但有两种可能，PF=EP+2或EP=FP+2．于是得到两个关系式，易得结论．
（3）“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者，思考点P运动即折纸特点，QF不能与A共线．当CE与QF共线时，P点恰为AB中点，如图，两线段都在CD上．当CE与A共线时，即连接对角线AC，CE在AC上，此时△AEP∽△ABC，进而AP的长易得．

（1）由△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，则△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵EF=EP，
∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．
∵AB=4，
∴PB=[4/3]，
∴AP=[8/3]．
∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
在△QAP和△PBC中，


∠A＝∠B
∠QPA＝∠PCB，
∴△QAP∽△PBC，
∴[QA/PB＝
AP
BC]，
∴[QA

4/3＝

8
3
2]，
∴QA＝
16
9．

（2）由题意，得PF=EP+2或EP=FP+2．
当EP-PF=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴PB-AP=2．
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
当PF-EP=2时，
∵EP=PB，PF=AP，
∴AP-PB=2．
∵AP+PB=4，
∴2AP=6．
∴AP=3．
故AP的长为1或3．

（3）①若CE与点A在同一直线上，如图2，连接AC，点E在AC上，
在△AEP和△ABC中，


∠AEP＝∠B＝90°
∠EAP＝∠BAC，
∴△AEP∽△ABC，
∴[AP/EP＝
AC
BC]．
设AP=x，则EP=BP=4-x，
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，
∴AC=2
5，
∴
x
4−x＝
2
5
2．
解得 x＝5−
5．
②若CE与QF在同一直线上，如图3，
∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，
∴AP=EP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．

点评：
本题考点： 四边形综合题．

考点点评： 本题考查的是折叠、重合的几何性质--图形全等，这一点我们可以直接使用．另外还考查了我们的思维想象能力，对于根据某点折叠，运动中图形的变化我们需要有一个大概的认识，做题时如果想象困难，可以利用手边的演算纸现场理解．