（2010•海曙区模拟）如图，C（0，3），过点C开口向下的抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的右边），已知∠CBA=4

解题思路：（1）根据C点的坐标可以求出OC的长度，根据CO的长度和∠CBA=45°，tanA=3通过解直角三角形可以得出OB、OA的长度从而求出A、B的坐标．
（2）根据A、B、C的坐标，利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，然后转化为顶点式就可以求出顶点坐标D．
（3）①通过勾股定理可以证明△BDC为直角三角形，当直线EB与△BCD外切时EB⊥BD，利用三角形相似可以求出OE的长来确定E点的坐标而确定m的值．
②通过情况讨论当点E在C点的上方和下方来分别计算比较，∠DEC与∠DBC的大小，确定相应的m的取值范围．

（1）∵C（0，3）
∴OC=3
∵∠CBA=45°
∴OC=OB=3
∵tanA=3
∴[OC/OA＝3，即
3
OA＝3
∴OA=1
∴A（1，O），B（-3，0）

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+3）
把C（0，3）代入得-3a=3
∴a=-1
∴y=-（x-1）（x+3）
y=-x²-2x+3
∴-
b
2a]=-1，
4ac−b2
4a=4
∴D（-1，4）

（3）①作DH⊥y轴于H，则DH=1，CH=OH-OC=1
由勾股定理得：CD=
2，CD²=2
在△BOC中，由勾股定理得，BC=
2OC
∴BC=3
2，BC²=18
在Rt△BDF中，BF=BO-OF=2，DF=4，由勾股定理得；
BD=2
5∴DB²=20
在△BCD中∴CD²+BC²=DB²
∴△BCD是直角三角形．
∴BD是△BCD的外接圆的直径
∵BE与△BCD的外接圆相切
∴BE⊥BD
∴∠DBE=90°
∴∠EBO=∠BDF
∴△BDF∽△EBO
∴[OE/BF＝
OB
DF]即[OE/2＝
3
4]
∴OE=[3/2]
∴E（0，-[3/2]）
即m=-[3/2]
②当点E在C点的上方时，当∠DEC=∠DBC时，
∵∠DHE=∠DCB=90°
∴△DEH∽△DBC
∴
EH
DH＝
BC
DC＝3
∴EH=3，OE=EH+HO=7
∴E（0，7）
∴当m=7时，∠DEC=∠DBC
当

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用解直角三角形求线段的长度来求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，顶点式的运用，勾股定理及其逆定理的运用，相似三角形的判定及性质，圆的切线的性质等多个知识点．