已知函数f（x）=ex+ae-x，

（1）当a=1时，f（x）=e^x+e^-x，f（-x）=e^x+e^-x=f（x），∴f（x）是偶函数；
当a=-1时，f（x）=e^x-e^-x，f（-x）=e^-x-e^-x=-f（x），∴f（x）是奇函数；
当a≠1且a≠-1，函数f（x）=e^x+ae^-x是非奇非偶函数．
（2）用定义法说明：
对任意的x₁，x₂＞1，且x₁＜x₂，
则f(x2)−f(x1)＝(ex2−ex1)(1−
a
ex2ex1)＞0
∴a＜ex2ex1，对任意的x₁，x₂＞1恒成立，
∴a≤e²．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义．