设(a,b)=d,试证d是所有形如f(x,y)=ax+by的整数中最小正数,这里x,y为任意整数

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首先由d | a与d |b,而x,y是整数,可知d | f(x,y).
故f(x,y)取得的最小正整数值 ≥ d.
只要再证明f(x,y)可以取得d.
这是裴蜀定理,即存在整数x,y使ax+by = (a,b) = d.
证明大致是用辗转相除,见参考链接.

1年前

471209 幼苗

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a^2+x^2>=2ax,当且仅当a=x时取得等号
同理b=y时取得等号，又（a,b)=d
所以d是ax+by的最小整数
望采纳

1年前

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