数学问题怎样证明：1×2+2×3+3×4+……+n×(n+1)=n×(n+1)×(n+2)/3

sxbj2001 1年前 已收到5个回答 举报
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草公 幼苗

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1×2+2×3+3×4+……+n×(n+1)
=1×(1+1)+2×(2+1)+...+n×(n+1)
=1×1+2×2+.+n×n+(1+2+...+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n×(n+1)×(n+2)/3

1年前

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九月十九日 幼苗

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1×2+2×3+3×4+……+n×(n+1)=1+1+2²+2+3²+3……+n²+n
=(1+2+3+……+n)+(1²+2²+3²+……+n²)=n×(n+1)×(n+2)/3

1年前

3

狼批羊皮 幼苗

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方法一：用数学归纳法。设在k的时候等式成立，
则有：1×2+2×3+3×4+……+k×(k+1)=k×(k+1)×(k+2)/3 .
所以当取k+1时,1×2+2×3+3×4+……+(k+1)×(k+2)=k×(k+1)×(k+2)/3+(k
+1)×(k+2)=(k+1)×(k+2)×(k+3)/3.
结论成立。
方法二：因为n(n+1)=n²+...

1年前

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xiaohaha2006 幼苗

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裂项很简单的,先每项都乘以3.
左边=[1*2*3+2*3*3+3*4*3+.....+n*(n+1)*3]/3
={1*2*3+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+....+n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/3
=[1*2*3+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+....+n*(n+1)*(n+2)-(n-1)*n*(n+1)]/3
=n*(n+1)*(n+2)/3
裂项后可以发现一一抵消了,后面只剩下n(n+1)(n+2)

1年前

1

liangzj 幼苗

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用数学归纳法，x=1时等式显然成立，假设在x=n时等式成立，则有1*2+2*3+...+n*(n+1)=n×(n+1)×(n+2)/3 ,那么当x=n+1时，1×2+2×3+3×4+……+（n+1）×(n+2）=n*(n+1)*(n+2)/3+（n+1）×(n+2）=（n+1）×(n+2）*（n/3+1）=(n+1）×(n+2)*(n+3)/3,得证

1年前

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