矩阵A^2=E,且有不同的特征值,不同特征值的特征向量正交,证明A为正交阵

芬妮 1年前 已收到1个回答 举报
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fancui000 种子

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A的特征值只能是1或-1,注意到（A+E)(E-A）=0,线代数上应该证明此时有r(A+E)+r(A-E)=n,也就是Ax=x的解空间和Ax=-x的解空间维数之和是n.在Ax=x中取标准正交向量组q1,q2,...,qk,在Ax=-x中取标准正交向量组qk+1,...,qn,由题意知两个空间是正交的,故
Q=【q1,.,qn】是正交阵,而AQ=QD,D是对角阵,前k个对角元是1,后n-k个对角元是-1,故A=QDQ^T,AA^T=E.

1年前 追问

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芬妮 举报

题目没说A是实对称的，也没说A的特征向量有完全的特征向量系，为啥就能对角化了呢，还有(a+e)(a-e)=0 r(a+e)+r(a-e)<=n啊

举报 fancui000

因为还有另外不等式：r(A)+r(B)>=r(A+B)，故r(E-A)+r(E+A)>=r(2E)=n。故 r(A+E)+r(A-E)=n。 能对角化是证明出来的，（E-A)x=0的解空间是Ax=x的解空间，维数为n-r(E-A)，另外一个维数是 n-r(E+A)，两者维数之和是n，两个解空间又是正交的，才能对角化。
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