已知二次函数f（x）=x2-2x-3的图象为曲线C，点P（0，-3）．

解题思路：（1）由题意求出导数，判断出点P与函数图象的关系，再把x=0代入求出f′（0），即所求切线的斜率；
（2）把x=x²代入解析式求出g（x），再求出g′（x）和临界点，再列出表格判断出函数的单调性，再求出函数的递增区间．

（1）∵f（x）=x²-2x-3，∴f′（x）=2x-2．
∵点P坐标是（0，-3），∴点P在曲线C上，则f′（0）=-2．
∴过点P且与曲线C相切的直线的斜率是-2．
（2）∵g（x）=f（x²）=x⁴-2x²-3，
∴g′（x）=4x³-4x=4x（x+1）（x-1）
令g′（x）=0，得x=-1或x=0或x=2．
列表如下：

由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值，以及导数与函数单调性的关系，属于中档题．

设所求直线为y=kx+b,代入f（x）得kx+b＝x^2－2x－3，因为过点P（0,－3），所以可知b=-3,所以有kx-3=x^2－2x－3,可得当k＝-2时，方程有唯一解，也即相切！
所以，直线的斜率为-2
f（x）的单调递增区间为[1,+∞)——————证明从略
所以g（x）＝f （x^2）的单调递增区间为x^2<1时，原函数为单调递减区间取值
x^2>1时，...