（2014•阳泉二模）设函数f（x）=lnx-[1/2]ax2-bx．

（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当a＝b＝
1
2时，f(x)＝lnx−
1
4x2−
1
2x，
f′(x)＝
1
x−
1
2x−
1
2＝
−(x+2)(x−1)
2x．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以f（x）的极大值为f(1)＝−
3
4，此即为最大值．（4分）
（Ⅱ）F(x)＝lnx+
a
x，x∈(0，3]，
所以k＝F′(x0)＝
x0−a
x02≤
1
2，在x₀∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥(−
1
2x02+x0)max，x₀∈（0，3]（7分）
当x₀=1时，−
1
2 x02 +x0取得最大值[1/2]．所以a≥[1/2]．（9分）
（Ⅲ）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解．
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′(x)＝
2x2−2mx−2m
x．
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，
所以x1＝
m−
m2+4m
2＜0（舍去），x2＝
m+

点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．