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春芽
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1:5
设正三棱柱底面正三角形的边长为a,当球外切于正三棱柱时,球的半径R
1 等于正三棱柱的底面正三角形的边心距,求出正三棱柱的高为,当球外接正三棱柱时,球的圆心是正三棱柱高的中点,且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,求出外接球的半径,即可求出内切球与外接球表面积之比.
设正三棱柱底面正三角形的边长为a,其内切球的半径为R
当球外切于正三棱柱时,球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=
a,到相对棱的距离是
a
又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍,故正三棱柱的高为
a,
球外接正三棱柱时,球的圆心是正三棱柱高的中点,且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离
a,棱锥的高为
a
故正三棱锥外接球的半径满足R
2 2 =(
a)
2 +(
a)
2 =
a
2 ,
∴内切球与外接球表面积之比为4(πR
2 ):(4πR
2 2 )=R
2 :R
2 2 =1:5.
故答案为1:5
1年前
6