设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．

解题思路：（1）确定函数的定义域，求导函数，从而确定f（x）的单调递减区间；
（2）先确定函数的单调递增区间，再根据f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，建立不等式，从而可求实数a的取值范围；
（3）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．

（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）（1分）
f′（x）=1-aln（x+1）-a（2分）
当a=1时，f′（x）=-ln（x+1）
当a＞0时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（4分）
（2）①当a=0时，f′（x）=1＞0
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数（5分）
②当a＞0时，令f/(x)＝0，得x＝e
1−a
a−1，
当f′（x）＞0时，得−1＜x＜e
1−a
a−1
所以f（x）的递增区间为(−1，e
1−a
a−1]（7分）
又因为f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增
所以e−1≤e
1−a
a−1，由此得a≤
1
2（8分）
综上，得0≤a≤
1
2（9分）
（3）要证：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m
只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证
ln(1+m)
m＜
ln(1+n)
n
设g(x)＝
ln(1+x)
x，(x＞0)，（10分）
则g′(x)＝

x
1+x−ln(1+x)
x2＝
x−(1+x)ln(1+x)
x2(1+x)（11分）
由（1）知：即当a=1时，f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减，
即x＞0时，有f（x）＜f（0），-------（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的减函数，（13分）
即当m＞n＞0时，g（m）＜g（n），
故原不等式成立．（14分）

点评：
本题考点： 不等式的证明；对数函数的单调区间；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，解题时确定函数的单调性是关键．