如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运

（1）如图1，过点B作BC⊥y轴于点C，
∵A（0，2），△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=
3，OC=AC=1，
即B（
3，1）；

（2）证明：如图2，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
∵

AP＝AQ
∠PAO＝∠QAB
AO＝AB，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°，
∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°；

（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①如图2，当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=
3，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=
3，
∴此时P的坐标为（-
3，0）．
②如图3，当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2，可求得BQ=2
3，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2
3，
∴此时P的坐标为（2
3，0）．
综上，P的坐标为（-
3，0）或（2
3，0）．

点评：
本题考点： 四边形综合题．

考点点评： 本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质，注意利用分类讨论得出是解题关键．