（2012•金山区二模）如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=6，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA
（2012•金山区二模）如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=6，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点，且AP
=BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，连接PQ，设△POQ面积为y，AP=x．
（1）用x的代数式表示PO；
（2）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接QE，若△PQE与△POQ相似，求AP的长．
=BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，连接PQ，设△POQ面积为y，AP=x．（1）用x的代数式表示PO；
（2）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接QE，若△PQE与△POQ相似，求AP的长．
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（1）∵AD∥BC，PE∥AC，
∴四边形APEC是平行四边形，
∴AC=PE=6，AP=EC=x，
∵[PA/BE＝
PO
OE]，
∴[x/5−x]=[PO/6−PO]，
∴PO＝
6
5x；
（2）∵AB=BC=5，
∴∠BAC=∠BCA
又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，
∴∠APE=∠AOP，
∴AP=AO=x，
∴当0＜x＜
5
2时，OQ=5-2x；
作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点F、H，
则易得AF=CF=3，AB=5，BF=4．
∵∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF，
∴△OHQ∽△AFB，
∴[QH/BF＝
OQ
AB]，
∴[QH/4＝
5−2x
5]，
∴QH＝
4(5−2x)
5＝−
8
5x+4，
∴y＝−
24
25x2+
12
5x，
所以y与x的函数关系式是y＝−
24
25x2+
12
5x(0＜x＜
5
2)；
（3）当0＜x＜
5
2时，
由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE，
可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，
由于∠QPO=∠EPQ，
所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，
可得OP=OQ，
于是得[6/5x＝5−2x，
解得x＝
25
16]，
同理当[5/2＜x＜5，
可得x＝
25
4]（不合题意，舍去）．
所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为[25/16]．
∴四边形APEC是平行四边形，
∴AC=PE=6，AP=EC=x，
∵[PA/BE＝
PO
OE]，
∴[x/5−x]=[PO/6−PO]，
∴PO＝
6
5x；
（2）∵AB=BC=5，
∴∠BAC=∠BCA
又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，
∴∠APE=∠AOP，
∴AP=AO=x，
∴当0＜x＜
5
2时，OQ=5-2x；
作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点F、H，
则易得AF=CF=3，AB=5，BF=4．
∵∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF，
∴△OHQ∽△AFB，
∴[QH/BF＝
OQ
AB]，
∴[QH/4＝
5−2x
5]，
∴QH＝
4(5−2x)
5＝−
8
5x+4，
∴y＝−
24
25x2+
12
5x，
所以y与x的函数关系式是y＝−
24
25x2+
12
5x(0＜x＜
5
2)；
（3）当0＜x＜5
2时，
由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE，
可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，
由于∠QPO=∠EPQ，
所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，
可得OP=OQ，
于是得[6/5x＝5−2x，
解得x＝
25
16]，
同理当[5/2＜x＜5，
可得x＝
25
4]（不合题意，舍去）．
所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为[25/16]．
1年前
5
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你能帮帮他们吗