求教线代矩阵题,A,B是n阶矩阵，证明:(1)r(A-ABA)=r(A)+r(I-BA)-n(2)若A+B=I,且r(A
求教线代矩阵题,
A,B是n阶矩阵，证明:
(1)r(A-ABA)=r(A)+r(I-BA)-n
(2)若A+B=I,且r(A)+r(B)=n,则AB=0=BA
A,B是n阶矩阵，证明:
(1)r(A-ABA)=r(A)+r(I-BA)-n
(2)若A+B=I,且r(A)+r(B)=n,则AB=0=BA
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（1）用分块矩阵的初等变换和秩做
I I-BA ——> I I-BA ——> I 0
A 0 0 A-ABA 0 A-ABA
所以,左边的秩=r(A-ABA)+n
另一方面
I I-BA ——> I -BA ——> I-BA 0 ——> I-BA 0
A 0 A -A A -A 0 A
所以,左边的秩=r(A)+r(I-BA)
（2）与（1）类似考虑如下分块矩阵
A 0 0 I 0 -AB
0 B 它可以变成 -BA 0 或 I 0
由已知即得AB=0=BA
I I-BA ——> I I-BA ——> I 0
A 0 0 A-ABA 0 A-ABA
所以,左边的秩=r(A-ABA)+n
另一方面
I I-BA ——> I -BA ——> I-BA 0 ——> I-BA 0
A 0 A -A A -A 0 A
所以,左边的秩=r(A)+r(I-BA)
（2）与（1）类似考虑如下分块矩阵
A 0 0 I 0 -AB
0 B 它可以变成 -BA 0 或 I 0
由已知即得AB=0=BA
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