（12分）如图，在棱长为1的正方体 中，

（I）略（Ⅱ）略

解法一：（Ⅰ）如图,设PC=m,连AC，
设AC与BD相交于点O,AP与平面 相交于点G，,
连结OG，因为PC∥平面 ，平面 ∩平面APC＝OG,故OG∥PC，[来源:学§科§网Z§X§X§
K所以，OG＝ PC＝ ．又AO⊥BD,AO⊥BB ₁ ， 所以AO⊥平面 ，故∠AGO是AP与平面 所成的角．
在Rt△AOG中，tan AGO＝ ，
即m＝ ．所以，当PC＝ 时，
直线AP与平面 所成的角的正切值为 ． …………………6分
（Ⅱ）可以推测，点Q应当是A ₁ C ₁ 的中点O ₁ ，因为D ₁ O ₁ ⊥A ₁ C ₁ , 且 D ₁ O ₁ ⊥A ₁ A ，所以 D ₁ O ₁ ⊥平面ACC ₁ A ₁ ，又AP 平面ACC ₁ A ₁ ，故 D ₁ O ₁ ⊥AP．那么根据三垂线定理知，D ₁ O ₁ 在平面APD ₁ 的射影与AP垂直． …………………12分
解法二：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，[来源:Zxxk.Com]
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，[来源:学科网]
B ₁ (1，1，1)，D ₁ (0，0，1)
所以
又由 知， 为平面 的一个法向量．
设AP与平面 所成的角为 ，
则 。
依题意有 解得 ．
故当 时，直线AP与平面 所成的角的正切值为 ． ………6分[来源:Z|xx|k.Com]
（Ⅱ）若在A ₁ C ₁ 上存在这样的点Q，设此点的横坐标为 ，
则Q(x，1－ ，1)， 。
依题意，要使D ₁ Q在平面APD ₁ 上的射影垂直于AP，
等价于D ₁ Q⊥AP
即Q为A ₁ C ₁ 的中点时，满足题设要求． …………………12分[来源:Z.xx.k.Com]