根式运算怎么做?

一般形如
（a≥0）的代数式叫做二次根式,其中,a 叫做被开方数.当a≥0时,表示a的算术平方根；当a小于0时,非二次根式（在一元二次方程求根公式中,若根号下为负数,则无实数根）,被开方数必须大于或等于0.
平方根
定义和概念
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,即如果
=a,则x叫做a的平方根,记作x=
,其中a叫被开方数.
性质
1.任何一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.如正数a的算术平方根是x,则a的另一个平方根为﹣x.
2.零的平方根是零,即
；
3.负数没有平方根.
4.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式.
5.若a,b,c,d都是有理数,为无理数,且,则a=b,c=d.
√a的性质和几何意义
1）a≥0 ;
≥0 [ 双重非负性 ]
　　2）
=a
（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
　　3) c=
表示直角三角形内,斜边等于两直角边的平方和的根号,即勾股定理推论
算术平方根
正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根,用
(a≥0)来表示.[1]
开平方运算
求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.[2]
运算法则
乘除法
1.积的算数平方根的性质
（a≥0,b≥0）
2. 乘法法则
（a≥0,b≥0）
二次根式的乘法运算法则,用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根.
3.除法法则
（a≥0,b>0）
二次根式的除法运算法则,用语言叙述为：两个数的算术平方根的商,等于这两个数商的算术平方根.
加减法
1、同类二次根式
一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.
2、合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式.
3、二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并.
例如：（1）
；（2）
4、注意：有括号时,要先去括号.
化简
化简二次根式是初中阶段考试必考的内容,初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容.
分母有理化
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程,以下列出分母有理化的几种方法：
（1）直接利用二次根式的运算法则：
例：
（2）利用平方差公式：
例：
[3]
（3）利用因式分
例：
（此题可运用待定系数法便于分子的分解）
换元法
换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法,是化简的重要方法之一.
例：在根式
中,令
,即可得到
原式=
典型例题
1、化简根式：
分析：利用因式分解将大根号下的数化为一个完全平方式,即可去掉大根号.
2、计算
分析：通关换元法换元,将根号下的数化简,最后求值.
混合运算
1、确定运算顺序.
2、灵活运用运算定律.
3、正确使用乘法公式.
4、大多数分母有理化要及时.
5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化.
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明.
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式.
应用
二次根式的应用主要体现在两个方面：
（1）利用从特殊到一般,在由一般到特殊的重要思想方法,解决一些规律探索性问题；
（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题,根据已知量,求出一些长度或高度,或设计省料的方案,以及图形的拼接、分割问题.这个过程需要用到二次根式的计算,其实就是化简求值.[4]