已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）•e-x．

解题思路：（1）对函数f（x）求导，利用导函数的符号求解单调区间，根据函数的单调性求出函数的极值即可；
（2）利用导数研究函数f（x）的极值，根据g（x）=x³+[1/n]x-1在R上递增，f（0）=-1＜0，f（1）=[1/n]＞0，则x³+[1/n]x-1=0有唯一解，
（i）因为0＜a_i＜1，则有a_i³＜a_i，从而

ai

i

＝1−

a

3 i

＞1−ai，所以ai ＞

i

1+i

，从而

1

(1+i)2ai

＜

1

i(i+1)

，

n

i＝1

1

(1+i)2ai

＜

n

i＝1

1

i(i+1)

＝1−

1

n+1

＝

n

n+1

由ai ＞

i

1+i

可得an＞

n

1+n

，所以

n

i＝1

1

(1+i)2ai

＜an；
（ii）根据题意可知

a

3 n

+

an

n

＝1，又

a

3 n+1

+

an+1

n+1

＝1，两式相减得1＞a_n+1＞a_n＞0，构造函数g（x）=

(2x

n

+6x +6+

1

x

)e−x，x∈（0，1），g′（x）＜0所以g（x）在（0，1）上是减函数，则g（a_n）＞g（a_n+1）＞g（1）=[15/e]，即可证得结论．

（1）当a=b=-3时，f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，
故f′（x）=-（x³+3x²-3x-3）e^-x+（3x²+6x-3）e^-x=-e^-x（x^-3-9x）=-x（x-3）（x+3）e^-x
当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；
当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0．
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调递增，在（-3，0），（3，+∞）单调递减；
极大值为f（-3）=6e³，f（3）=42e^-3，极小值为f（0）=-3
（2）a=6+[1/n]，b=5+[1/n]，f（x）=[x³+3x²+（6+[1/n]）x+（5+[1/n]）]e^-x，
f′（x）=-[x³+3x²+（6+[1/n]）x+（5+[1/n]）]e^-x+[3x²+6x+（6+[1/n]）]e^-x=-e^-x（x³+[1/n]x-1）
令f′（x）=-e^-x（x³+[1/n]x-1）=0即x³+[1/n]x-1=0
因为g（x）=x³+[1/n]x-1在R上递增，f（0）=-1＜0，f（1）=[1/n]＞0
∴x³+[1/n]x-1=0有唯一解
（i）因为0＜a_i＜1，则有a_i³＜a_i，
a3i+
ai
i＝1，
ai
i＝1−
a3i＞1−ai
所以ai ＞
i
1+i所以
1
(1+i)2ai＜
1
i(i+1)

n

i＝1
1
(1+i)2ai＜
n

i＝1
1
i(i+1)＝1−
1
n+1＝
n
n+1
由ai ＞
i
1+i可得an＞
n
1+n，所以
n

i＝1
1
(1+i)2ai＜an
（ii）证明：
a3n+
an
n＝1显然0＜a_n＜1
又
a3n+1+
an+1
n+1＝1，两式相减得(an+1−an)(
a2n+1+an+1an+
a2n+
1
n)＞0
所以a_n+1＞a_n，故1＞a_n+1＞a_n＞0
f（a_n）=（3
a2n+6an+6+
1
n）e−an，又
a3n+
an
n＝1，所以[1/n＝
1−
a3n
an]
所以f（a_n）=（
2a2n+6an+6+
1
an） e−an，a_n∈（0，1）
构造函数g（x）=
(2xn +6x +6+
1
x)e−x，x∈（0，1）
g′（x）＜0所以g（x）在（0，1）上是减函数，
又1＞a_n+1＞a_n＞0
所以g（a_n）＞g（a_n+1）＞g（1）=[15/e]
即f（a_n）＞f（a_n+1）＞
15
e．

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用导函数求解单调区间的问题，要求同学们掌握好导函数与函数的关系，以及导函数的性质和证明不等式，属于难题．