求解齐次线性方程组的通解
在《线性代数》中，求解齐次线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 的通解是一项核心技能。这里的 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 矩阵，\( \mathbf{x} \) 是未知向量，\( \mathbf{0} \) 是零向量。通解的目标是找出所有满足该方程组的向量集合。由于等式右边为零，该方程组至少有一个零解（平凡解）。我们更关心的是是否存在非零解，以及如何表示所有解。
求解过程通常始于对系数矩阵 \( A \) 进行初等行变换，将其化为行最简形。这一步骤能清晰地揭示矩阵的秩 \( r \)（即主元的个数）。若矩阵的秩 \( r \) 小于未知数的个数 \( n \)，则方程组存在非零解，且有 \( n-r \) 个自由未知量（或称自由变量）。每个自由未知量可以独立地取任意实数，它们构成了解空间的基础。
通解的结构与表示
通解的结构非常优美：它由一个基础解系线性组合而成。基础解系是解空间的一组基，包含 \( n-r \) 个线性无关的解向量。通过行最简形，我们可以将主元对应的未知量用自由未知量表示，然后依次令一个自由未知量为1，其余为0，从而构造出这些基础解向量 \( \xi_1, \xi_2, ..., \xi_{n-r} \)。最终，方程组的全部解（通解）可表示为：\( \mathbf{x} = k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + ... + k_{n-r}\xi_{n-r} \)，其中 \( k_1, k_2, ..., k_{n-r} \) 为任意实数。这个表达式表明，齐次线性方程组的解空间是一个维数为 \( n-r \) 的向量子空间。
掌握这一方法，不仅能求出具体的解，更能深入理解线性方程组解的理论结构，是学习更高阶线性代数概念的重要基石。