#芝麻开门#设AB分别为mXn,nXt的矩阵,求证若r（B）=n 则rAB=r（A）

bingobingo小妖 1年前 已收到1个回答 举报
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浮世幽梦 幼苗

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考虑齐次线性方程组 B^TA^Tx=0 与 A^Tx=0
显然 A^Tx=0 的解都是 B^TA^Tx=0 的解
反之, 设 x0是 B^TA^Tx=0 的解
则 B^TA^Tx0=0
即 B^T(A^Tx0)=0
由于 rB)=r(B^T)=n
所以 B^Tx=0 只有零解
所以 A^Tx0 = 0
所以 x0 也是 A^Tx=0 的解.
故两个齐次线性方程组同解
所以它们系数矩阵的秩相等
即 r (B^TA^T) = r(A^T)
从而 r(AB)=r(A).

1年前

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