高数证明题设函数f(x)在（a,b）内有定义,对于x1,x2∈（a,b）恒有：|f(x2)-f(x1)|≤A（x2-x1
高数证明题
设函数f(x)在（a,b）内有定义,对于x1,x2∈（a,b）恒有：|f(x2)-f(x1)|≤A（x2-x1）^2,(A≥0,常数),试证：f(x)在(a,b)内可微,且f`(x)≡0
设函数f(x)在（a,b）内有定义,对于x1,x2∈（a,b）恒有：|f(x2)-f(x1)|≤A（x2-x1）^2,(A≥0,常数),试证：f(x)在(a,b)内可微,且f`(x)≡0
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∵|f(x2)-f(x1)|≤A(x2-x1)²
∴|f(x2)-f(x1)|/(x2-x1)≤A(x2-x1)
当x2->x1时,x2-x1->0
∴0≤|f'(x)|≤A*0=0
即f'(x)≡0
∴f(x)在任一点处可导，且导数为0，所以在(a,b)内可微
∴|f(x2)-f(x1)|/(x2-x1)≤A(x2-x1)
当x2->x1时,x2-x1->0
∴0≤|f'(x)|≤A*0=0
即f'(x)≡0
∴f(x)在任一点处可导，且导数为0，所以在(a,b)内可微
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