对于直角坐标平面内的任意两点A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ），定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|
| 对于直角坐标平面内的任意两点A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ），定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x 1 -x 2 |+|y 1 -y 2 |．给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖． 其中真命题的个数为（ ）
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①，不妨设直线AB的方程为y=kx+b（k＞0），令x 2 ＞x 0 ＞x 1 ，
∵点C（x 0 ，y 0 ）在线段AB上，
∴‖AC‖=
.
x 0 - x 1
. +
.
y 0- y 1
. =（k+1）（x 0 -x 1 ）；
同理可得，‖CB‖=（k+1）（x 2 -x 0 ），‖AB‖=（k+1）（x 2 -x 1 ）；
∵‖AC‖+‖CB‖=（k+1）（x 0 -x 1 ）+（k+1）（x 2 -x 0 ）=（k+1）（x 2 -x 1 ）=‖AB‖；
故①正确；
②，∵在△ABC中，若∠C=90°，取C（1，1），A（3，2），则B在直线x+y=3上，不妨取B（0，3），
‖CA‖=|3-1|+|2-1|=2+1=3，‖CB‖=|0-1|+|3-1|=1+2=3，‖AB‖=|3-0|+|2-3|=4，
显然，‖AC‖+‖CB‖≠‖AB‖；故②错误；
③，取C（0，0），A（1，0），B（0，1），则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖=2，故③错误．
综上所述，其中真命题的个数为1．
故选B．
∵点C（x 0 ，y 0 ）在线段AB上，
∴‖AC‖=
.
x 0 - x 1
. +
.
y 0- y 1
. =（k+1）（x 0 -x 1 ）；
同理可得，‖CB‖=（k+1）（x 2 -x 0 ），‖AB‖=（k+1）（x 2 -x 1 ）；
∵‖AC‖+‖CB‖=（k+1）（x 0 -x 1 ）+（k+1）（x 2 -x 0 ）=（k+1）（x 2 -x 1 ）=‖AB‖；
故①正确；
②，∵在△ABC中，若∠C=90°，取C（1，1），A（3，2），则B在直线x+y=3上，不妨取B（0，3），
‖CA‖=|3-1|+|2-1|=2+1=3，‖CB‖=|0-1|+|3-1|=1+2=3，‖AB‖=|3-0|+|2-3|=4，
显然，‖AC‖+‖CB‖≠‖AB‖；故②错误；
③，取C（0，0），A（1，0），B（0，1），则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖=2，故③错误．
综上所述，其中真命题的个数为1．
故选B．
1年前
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