（2014•遵义二模）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，设平面向量e1＝(2cosC，c2−b)，

解题思路：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合正弦定理，求出A，即可求cos2A的值；
（Ⅱ）若a=2，由余弦定理，结合b+c＞2，利用基本不等式，求出2＜b+c≤4，即可求出△ABC的周长L的取值范围．

（Ⅰ）∵

e1＝(2cosC，
c
2−b)，

e2＝(
1
2a，1)，且

e1⊥

e2，
∴acosC+[c/2]-b=0，
∴根据正弦定理，可得2sinAcosC+sinC=2sinB，
∴2sinAcosC+sinC=2sin（A+C），
∴2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinC=2cosAsinC，
∴cosA=[1/2]，
∵A∈（0，π），
∴A=[π/3]，
∴cos2A=-[1/2]；
（Ⅱ）∵a=2，
∴由余弦定理可得4=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-
3(b+c)2
4=
(b+c)2
4，
∴b+c≤4（当且仅当b=c=2时取等号）
又b+c＞2，
∴2＜b+c≤4，
∴△ABC的周长L的取值范围为（4，6]．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．

考点点评： 本题考查向量知识的运用，考查余弦定理、正弦定理的运用，考查基本不等式，属于中档题．