如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABC

（1）证明：∵∠ADC=45°，且AD=AC=2，
∴∠DAC=90°，即AD⊥AC
又∵PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥AD，
又∵AC∩PO=O，
∴AD⊥平面PAC
（2）取DO中点N，连接MN，AN
∵M为PD的中点，∴MN ∥ PO，且MN=
1
2 PO=1，
∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD
∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，∵AD=2，AO=1，∠DAO=90°，∴DO=
5 ，
∴AN=
1
2 DO=

5
2 ，
在Rt△ANM中，sin∠MAN=
MN

M N 2 +AN 2 =
2
3 ，
即直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为
2
3 ．

1年前