导数问题求证:1.(logax)'=logae/x2.(a^x)'=a^xlna3.反三角的导数证明4.[f(x)*g(

导数问题
求证:1.(logax)'=logae/x
2.(a^x)'=a^xlna
3.反三角的导数证明
4.[f(x)*g(x)]'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
已知一个函数的导数,求这个函数的反函数的导数,用此函数的的导数来表示,不知道有没有公式,若有请证一下,没有就算了．
注：上面的问题角标等表示的不是很清楚,不过会证的人一定看的懂．如果在回答问题后能告诉我怎样可以在问问题时能够有图那就更好了．
希望能详细点
最好再给出e的定义

4marl 1年前已收到7个回答举报

bdwjjt 幼苗

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1 设f(x)=logax
f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h
=[loga(x+h)-logax]/h
=[loga(x+h/x)]/h
=[loga(1+h/x)]*(x/h)*(1/x)
做代换u=h/x
根据lim loga(1+x)/x=loga (1+x)^(1/x)=logae=1/lna
所以f'(x)=1/xlna
2 f(x)=a^x
f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h
=[a^(x+h)-a^x]/h
=a^x(a^h-1)/h
因为lim (a^x-1)/x
令a^x-1=t
则x=loga(1+t),x趋于0,t趋于0
于是lim(a^x-1)/x=lim t/[loga(1+t)]=lna
得到f'(x)=a^xlna
3 如果x=f(y)在区间I内单调,可导且f'(y)不为0,则反函数y=f(x)在区间I内可导
且[f(x)]'=1/f'(y)
证明:给x以增量△x
△y=f(x+△x)-f(x)不等于0
于是△y/△x=1/(△x/△y)
因为y=f(x)连续
所以lim △y=0
从而f(x)'=lim △y/△x=1/f'(y)
根据此公式,x=siny
y=arcsinx
arcsinx'=1/siny'=1/cosy
因为cosy=根号下(1-sin^y)=根号下(1-x^2)
从而arcsinx'=1/根号下(1-x^2)
用类似方法可求得其他反三角函数的导数
4 [f(x)g(x)]'
=lim [f(x+u)g(x+u)-f(x)g(x)]/u
加上f(x)g(x+u)/u并减去f(x)g(x+u)/u
=[f(x+u)g(x+u)-f(x)g(x)]/u+f(x)g(x+u)/u-f(x)g(x+u)/u
重新组合
=[(f(x+u)-f(x))g(x+u)/u+f(x)(g(x+u)-g(x))/u]
=[f(x+u)-g(x)]*[g(x+u)]/u+f(x)*[g(x+u)-g(x)]/u
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(1+1/n)^n 当n趋向无穷大时,极限存在,而无法给出它的显数,故,人们就定义此极限值为 e =2.718281828459045……

1年前