已知a,b是两个非零向量,当a+tb(t为实数,其余为向量)的模最小时,证明b与a+tb垂直

设a(a1,a2),b(b1,b2）
则a+tb=（a1+t*b1,a2+t*b2)
a+tb(t为实数,其余为向量)的模最小时
（a1+t*b1）^2+(a2+t*b2)^2=a1^2+a2^2+2(a1b1+a2b2)t+(b1^2+b2^2)t^2
显然,在对称轴x=-(a1b1+a2b2)/(b1^2+b2^2)取得最小值
所以
t=-(a1b1+a2b2)/(b1^2+b2^2)
b*（a+tb）=ab+tb^2=a1b1+a2b2-(a1b1+a2b2)/(b1^2+b2^2)*(b1^2+b2^2)
=a1b1+a2b2-(a1b1+a2b2)
=0
所以b与a+tb垂直

|a＋tb|^2取最小值（为0），即a＝－tb，所以b＊（a＋tb）＝ab+tab＝ 0,所以b和a+tb垂直