用定义证明下列极限：lim x趋向于π/4 sinx=二分之根号二

求证：lim(x->π/4) sinx = √2/2 = sin(π/4)
证明：
① 对任意 ε>0 ,
∵ √2/2 = sin(π/4) ,|cosx| ≤ 1 ,|sinx|≤|x|
∴要使 | sinx - √2/2| < ε 成立,
即只要满足：|sinx - √2/2| = | sinx - sin(π/4)| = |2cos[(x+π/4)/2]*sin[(x-π/4)/2]|
≤ |2sin[(x-π/4)/2]| ≤|2[(x-π/4)/2]| =|(x-π/4)|< ε 即可.
② 故存在 δ = ε > 0
③ 当 | x-π/4 |< δ =ε 时,
④ 恒有：|sinx - √2/2 | < ε 成立.
∴ lim(x->π/4) sinx = √2/2

楼主你是说 这个定理吧：任意数ε>0，存在一个正整数N，当n>=N时，恒有
/Xn-a/<ε 则 limXn=a（X趋向无穷），这个是数列极限的定义。函数极限的定义不是这个。具体的楼主自己去看高等数学上，具体的我就不打了，打这个定义还是挺累的，符号太多了
下面给你证明 “| |表示绝对值哈 a 表示 2分之根号二
证：由于 |f(x)-A|=|sinx-a|...

这有什么好证明的，sinx在π/4处是光滑的曲线，连续可导。左极限等于函数值，右极限也等于函数值，左极限等于右极限等于函数值sinπ/4=1.414/2

任给ε>0,则要证存在a>0，使得当0<|x-π/4|<δ,恒有|sinx-sinπ/4|<ε
|sinx-sinπ/4|
=|sin((x-π/4)+π/4)-sinπ/4|
=|sin(x-π/4)cosπ/4-cos(x-π/4)sinπ/4-sinπ/4|
<|√2/2*sin|δ|-√2/2*cos|δ|-√2/2|
=|sin(|δ|-π/4)-...

这题目有没有写错