如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB+AD=12，对角线AC是⊙O的直径，AE⊥BD，垂足为E，AE=3．设⊙O的半

解题思路：（1）根据圆周角定理，可知∠ABE=∠ACD，而等角的三角函数值相等，于是可得关于x、y的比例关系式，整理可得函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式，结合二次函数的性质，可求当x等于多少时，y的最大值，从而求出半径，再利用圆的面积公式可求⊙O的面积．

（1）∵∠ABE=∠ACD，
∴sin∠ABE=sin∠ACD，
∴[12−x/2y]=[3/x]，
∴y=-[1/6]x²+2x．

（2）根据（1）中的函数解析式，
当x=-[b/2a]=[−2
2×(−
1/6)]=6时，
y有最大值，且最大值=
4ac−b2
4a=
4×(−
1
6)×0−22
4×(−
1
6)=6，
即当x=6时，半径y有最大值是6，
∴S_⊙O=πy²=36π．

点评：
本题考点： 二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式；圆周角定理．

考点点评： 本题主要考查了圆周角定理、三角函数值、二次函数的性质，此题难度较大．