（2010•上海）已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=axnxn+1（a为常数）．
（2010•上海）已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=
（a为常数）．
（1）若对于任意的x1≠-1，有xn+2=xn对于任意的n∈N*都成立，求a的值；
（2）当a=1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当a确定后，数列{xn}由其首项x1确定，当a=2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．
| axn |
| xn+1 |
（1）若对于任意的x1≠-1，有xn+2=xn对于任意的n∈N*都成立，求a的值；
（2）当a=1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当a确定后，数列{xn}由其首项x1确定，当a=2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．
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解题思路：（1）求出xn+2，代入xn+1化简后等于xn，得到a2xn=（a+1）xn2+xn，当n=1时，由x1的任意性得得到a的值即可；
（2）数列为递减数列，因为当a=1且x1＞1得到xn＞0，而xn+1-xn=
-xn=-
＜0，所以得证；
（3）由a=2得到数列{xn}满足xn+1=
，因为{xn}是有穷数列，可以令x1=-[1/7]得到即可．
（2）数列为递减数列，因为当a=1且x1＞1得到xn＞0，而xn+1-xn=
| xn |
| xn+1 |
| ||
| xn+1 |
（3）由a=2得到数列{xn}满足xn+1=
| 2xn |
| xn+1 |
（1）∵xn+2=
axn+1
xn+1+1=
a•
axn
xn+1
axn
xn+1+ 1=
a2xn
axn+xn+1=xn
∴a2xn=（a+1）xn2+xn，当n=1时，由x1的任意性得
a2＝1
a+1＝0，∴a=-1．
（2）数列{xn}是递减数列．
∵x1＞0.xn+1＝
xn
xn+1
∴xn＞0，n∈N*又xn+1-xn=
xn
xn+1-xn=-
x2n
xn+1＜0，n∈N*，
故数列{xn}是递减数列．
（3）满足条件的真命题为：数列{xn}满足xn+1=
2xn
xn+1，若x1=-[1/7]，则{xn}是有穷数列．
点评：
本题考点： 数列递推式．
考点点评： 考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．
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