煮琴焚鹤 幼苗
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(Ⅰ)f(x)=[1/2x2+lnx f′(x)=x+
1
x],当x∈[1,e]时,f′(x)>0,∴f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=
1
2,f(x)max=f(e)=
1
2e2+1.
(Ⅱ)设F(x)=
1
2x2+lnx−
2
3x3,则 F′(x)=x+
1
x−2x2=
(1−x)(1+x+2x2)
x,
∵x>1时F′(x)<0,∴F(x)在[1,+∞)上为减函数,又F(1)=-[1/6]<0,故在[1,+∞)上,
F(x)<0,即[1/2x2+lnx<
2
3x3,∴函数f(x)的图象在函数g(x)=
2
3x3的图象的下方.
(Ⅲ)∵x>0,∴[f′(x)]n−f′(xn)=(x+
1
x)n−(xn+
1
xn).
当n=1时,不等式显然成立,当n≥2时,有[f′(x)]n−f′(xn)=
c1nxn−1
1
x+
c2nxn−2+…+
cn−1nx
1
xn−1]
=
c1nxn−2+
c2nx
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考查了运用导数求闭区间上的最值,求函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数f(a),f(b) 比较而得到的.构造函数,通过比较函数值与某一极值点的函数值的大小是证明一区间内函数图象高低的有效方法.
1年前
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