已知函数f（x）=lnx+x2．

解题思路：（Ⅰ）根据题意写出g（x）再求导数，由题意知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，转化为a≤2x+[1/x]，再利用基本不等式求右边的最小值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）先假设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx．结合题意列出方程组，利用换元法导数研究单调性，证出ln[m/n]＜

2( m n −1)

m n +1

在（0，1）上成立，从而出现与题设矛盾，说明原假设不成立．由此即可得到函数F（x）在（x₀，F（x₀））处的切线不能平行于x轴．

（Ⅰ）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，∴g′（x）=[1/x]+2x-a
由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤（2x+[1/x]）_min
又x＞0，2x+[1/x]≥2
2，当且仅当x=

2
2时等号成立
故（2x+[1/x]）_min=2
2，所以a≤2
2
（Ⅱ）设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx
结合题意，有

2lnm−m2−km＝0…①
2lnn−n2−kn＝0…②
m+n＝2x0…③

2
x0−2x0−k＝0…④
①-②得2ln

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题给出含有对数符号的基本初等函数函数，讨论了函数的单调性并探索函数图象的切线问题，着重考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．