两个独立的随机变量X,Y分别服从B(n,p),B(m,p),证明其和X+Y服从B(n+m,p)

如图：



关于那个组合数公式,可以从组合意义上证明：
n+m 个里面取 k 个的组合,共有 C(n+m,k) 种.
可将这 C(n+m,k) 种用另一种方式计数：
将 n+m 个分成两堆,一堆有 n 个,另一堆有 m 个.
n+m 个里面取 k 个的组合,有下面 k+1 中情形：
(1) n 个的堆里取 0 个,m 个的堆里取 k 个,有：C(n,0) C(m,k) 种
(2) n 个的堆里取 1 个,m 个的堆里取 k-1 个,有：C(n,1) C(m,k-1) 种
(3) n 个的堆里取 2 个,m 个的堆里取 k-2 个,有：C(n,2) C(m,k-2) 种
……
(k) n 个的堆里取 k-1 个,m 个的堆里取 1 个,有：C(n,k-1) C(m,1) 种
(k+1) n 个的堆里取 k 个,m 个的堆里取 0 个.有：C(n,k) C(m,0) 种
所以：C(n+m,k) = sum_{i 从 0 到 k} C(n,i) C(m,k-i)