甜橙2008 幼苗
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(1)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)];
∵f(x)是实数集R上的增函数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)<0,
由x1<x2,得-x1>-x2,
∴2-x1>2-x2,
∴f(2-x1)>f(2-x2),
∴f(2-x2)-f(2-x1)<0,
∴[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0;
即F(x1)<F(x2);
∴F(x)是R上的增函数.
(2)证明:∵F(x1)+F(x2)>0,
∴F(x1)>-F(x2)>0;
由F(x)=f(x)-f(2-x)知,
-F(x2)=-[f(x2)-f(2-x2)]=f(2-x2)-f(x2)=f(2-x2)-f[2-(2-x2)]=F(2-x2),
∴F(x1)>F(2-x2);
又F(x)是实数集R上的增函数,
所以x1+>2-x2.,
即x1+x2>2.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质.
考点点评: 本题考查了利用定义法证明函数的单调性,以及函数单调性的灵活应用,是有一定难度的题目
1年前
1年前4个回答
若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是
1年前1个回答
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1年前1个回答
用函数单调性的定义证明函数f(x)=x^3+x在实数集上是增函数
1年前1个回答