在很大的一湖岸边（可使湖岸为直线）停放着一只小船,
在很大的一湖岸边（可使湖岸为直线）停放着一只小船,
在很大的一湖岸边（可使湖岸为直线）停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与河岸成15°角,速度v=2.5km/h,同时岸上有一人,从同一地点出发追赶小船,已知他在岸上跑的速度为v1=4km/h,在水中游的速度为v2=2km/h,问此人能否追上小船,若小船速度改变,则小船能被追上的最大速度是多少?
在很大的一湖岸边（可使湖岸为直线）停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与河岸成15°角,速度v=2.5km/h,同时岸上有一人,从同一地点出发追赶小船,已知他在岸上跑的速度为v1=4km/h,在水中游的速度为v2=2km/h,问此人能否追上小船,若小船速度改变,则小船能被追上的最大速度是多少?
赞 372459212a 幼苗
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假设,在c处追上小船时,船速为v
人追船的总时间为t,人在岸上的时间为t的a倍（0＜a＜1）
则人在水中游的时间为t的(1-a)倍
那么就有AB=4at,BC=2(1-a)t,AC=vt
然后余弦定理得
4(1-a)²t²=16a²t²+v²t²-2*4at*vt*cos15°
其中cos15°=cos15°=cos(45°—30°）=cos45°* cos30°+ sin45°* sin30°=（√2/2 ） ×（√3/2 ）+（√2/2） *×1/2 =(√2+√6)/4
整理一下得 12a²-[2(√6+√2)v-8]a+v²-4=0
记a1 a2 是 12a²-[2(√6+√2)v-8]a+v²-4=0 这个方程的两个根
因为0＜a＜1,所以0＜a1×a2＜1,且△≥0
由韦达定理a1×a2=(v²-4)/12,
有 0＜(v²-4)/12＜1；
△=[2(√6+√2)v-8]²-4×12×(v²-4)≥0
解得2＜v≤2√2
即满足2＜v≤2√2,人就可以追上船
∵船速=2.5km/h,而2＜2.5≤2√2
∴此人可以追上船
而小船能被追上的最大速度是2√2km/h.
人追船的总时间为t,人在岸上的时间为t的a倍（0＜a＜1）
则人在水中游的时间为t的(1-a)倍
那么就有AB=4at,BC=2(1-a)t,AC=vt
然后余弦定理得
4(1-a)²t²=16a²t²+v²t²-2*4at*vt*cos15°
其中cos15°=cos15°=cos(45°—30°）=cos45°* cos30°+ sin45°* sin30°=（√2/2 ） ×（√3/2 ）+（√2/2） *×1/2 =(√2+√6)/4
整理一下得 12a²-[2(√6+√2)v-8]a+v²-4=0
记a1 a2 是 12a²-[2(√6+√2)v-8]a+v²-4=0 这个方程的两个根
因为0＜a＜1,所以0＜a1×a2＜1,且△≥0
由韦达定理a1×a2=(v²-4)/12,
有 0＜(v²-4)/12＜1；
△=[2(√6+√2)v-8]²-4×12×(v²-4)≥0
解得2＜v≤2√2
即满足2＜v≤2√2,人就可以追上船
∵船速=2.5km/h,而2＜2.5≤2√2
∴此人可以追上船
而小船能被追上的最大速度是2√2km/h.
1年前
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1年前2个回答
你能帮帮他们吗