如何证明：1平方+2平方+3平方+……+n平方=n(n+1)(2n+1)/6
如何证明：1平方+2平方+3平方+……+n平方=n(n+1)(2n+1)/6
请给出详细证明!
（另外,请不要用 数学归纳法和待定系数法来求证）
因为我想知道人们最初是怎么把这个求和公式的结果推导出来的.
请给出详细证明!
（另外,请不要用 数学归纳法和待定系数法来求证）
因为我想知道人们最初是怎么把这个求和公式的结果推导出来的.
赞 咖啡天使风 幼苗
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1^2+2^2+3^2+……+n^2
=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)+……+(n^2+n)-n(n+1)/2
=2[(2*1)/2+(3*2)/2+(4*3)/2+……+n*(n+1)/2]-n(n+1)/2
=2(C22+C32+C42+……+C(n+1)2)-n(n+1)/2,(C22表式C2选2,C32表式C3选2……)
=2(C33+C32+C42+……+C(n+1)2))-n(n+1)/2
=2C(n+2)3)-n(n+1)/2,(C33+C32=C43,C43+C42=C53……)
=(n+1)n(n-1)/3-n(n+1)/2
=[2(n+2)(n+1)n-3n(n+1)]/6
=n(n+1)(2n+1)/6
此方法用到高三组合数公式
=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)+……+(n^2+n)-n(n+1)/2
=2[(2*1)/2+(3*2)/2+(4*3)/2+……+n*(n+1)/2]-n(n+1)/2
=2(C22+C32+C42+……+C(n+1)2)-n(n+1)/2,(C22表式C2选2,C32表式C3选2……)
=2(C33+C32+C42+……+C(n+1)2))-n(n+1)/2
=2C(n+2)3)-n(n+1)/2,(C33+C32=C43,C43+C42=C53……)
=(n+1)n(n-1)/3-n(n+1)/2
=[2(n+2)(n+1)n-3n(n+1)]/6
=n(n+1)(2n+1)/6
此方法用到高三组合数公式
1年前
11
funny_1215 幼苗
共回答了8个问题 举报
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*...
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*...
1年前
2
共回答了1个问题 举报
1 + 1)^3 - 1^2 = 3*1^2 + 3*1 + 1
(2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
(3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.............
(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1
以上相加得到：
(n + 1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n + 1)/2 + n ...
(2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
(3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.............
(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1
以上相加得到：
(n + 1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n + 1)/2 + n ...
1年前
0
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