已知函数f（x）=x+2a2x-alnx（a∈R）．

解题思路：（1）分类讨论，求导函数，可得函数f（x）的单调区间；（2）x∈[1，e]，可得f（x）min=3-ln2，对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2），可得x∈[1，e]时，3-ln2≥x2-2bx+4-ln2，分离参数，利用函数的单调性，即可求出实数b的取值范围．（3）当a=12时，x+12x-12lnx＞32，取x=k+1k，则lnk+1k＜2k−1k+1，再利用叠加法即可证明结论．

（1）当a=0时，f（x）=x（x＞0），f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f′（x）=1-
2a2
x2-[a/x]=
(x+a)(x−2a)
x2，
∴f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增；
（2）当a=1时，f（x）=x+[2/x]-lnx，
∵x∈[1，e]，∴f（x）_min=3-ln2．
∵对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂），
∴x∈[1，e]时，3-ln2≥x²-2bx+4-ln2，
∴x∈[1，e]时，2b≥x+[1/x]
∵y=x+[1/x]在[1，e]上单调递增，
∴b≥[e/2+
1
2e]；
（3）证明：当a=[1/2]时，x+[1/2x]-[1/2]lnx＞[3/2]，
取x=[k+1/k]，则ln[k+1/k]＜[2/k−
1
k+1]，
∴ln[2/1]＜
2
1−
1
2，ln[3/2]＜[2/2−
1
3]，…ln
n+1
n＜
2
n−
1
n+1，
叠加得ln(n+1)＜1+
1
2+
1
3+…+
1
n+
n
n+1．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的综合应用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，属于中档题．