关于x方程lnx-x-k=0.当k等于多少时,方程有且只有一个实数解?并求出此时x的值!

syrwsj 1年前 已收到4个回答 举报
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流水无意 幼苗

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lnx=x+k
当y=lnx和直线y=x+k相切时,方程有一个根.
求导得:y'=1/x,所以,y=lnx的切线斜率是1/x.
y=x+k的斜率是1,所以有:1/x=1
得x=1.
即切点是(1,0)
切线方程是y-0=1(x-1),即y=x-1
所以,可得k=-1.
此时x=1.

1年前

8

摩登原始人n 幼苗

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化为lnx=x+k
题目意思也就是说 y=lnx 和 y=x+k有且只有一个交点
画出简图 知 y=x+k为y=lnx的切线
也就是说 y=lnx的切线斜率即为y=x+k的斜率 也就是1
lnx的导数是1/x
所以1/x=1
所以x=1
将x=1代入y=lnx 知其切点为（1,0）
再将该坐标代入直线y=x+k 得k=-1...

1年前

2

神话的成龙 幼苗

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求导得：1/x-1=0，x=1，于是在x=1时方程成立，此时-1-k=0，故k=-1

1年前

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海边的yoyo 幼苗

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因为lnx-x=k（x>0）
所以可以把题目等价为函数f（x）=lnx-x 与函数g（x）=k有且只有一个交点
f'（x）=1/x-1
当f'（x）>0时
0所以易知函数f（x）在（0，1）上递增
在（1，+无穷）上递减
且当x无限趋近于0时 f（x）无限趋近于-无穷
当x无限趋近于+无穷大时 f（x）无限趋近于-无穷

1年前

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