设质量为M的不可压缩流体仅在自身的万有引力作用下凝聚成半径为R的球,求球内压强

设距离球心r处的压强为P(r),液体密度为ρ=M/(4π/3*R^3)
设某液体小块,在r到r+Δr的球面之间,其体积为ΔrΔS
其受引力大小G*(ρ*4π/3*r^3)*(ρΔrΔS)/r^2=G*ρ*4π/3*r*ρΔrΔS
其两侧,压强差为ΔS*(P(r)-P(r+Δr))=-ΔS*(P(r+Δr)-P(r))=-ΔS*ΔP
液体小块受力平衡G*ρ*4π/3*r*ρΔrΔS=-ΔS*ΔP
即(G*ρ^2*4π/3)*rΔr=-ΔP
ΔP/Δr=-(G*ρ^2*4π/3)*r
有导数和R处压强为0可知:P(r)=(2πG/3*ρ^2)*(R^2-r^2)

ρgR