特殊数列求和求和：(1) 1 + (1+2) + (1+2+2^2) + (1+2+2^2+2^3) + ...+ (1
特殊数列求和
求和：
(1) 1 + (1+2) + (1+2+2^2) + (1+2+2^2+2^3) + ...+ (1+2+2^2+...+2^n)
(n属於正自然数集)
(2) 1/(1^2+4) + 1/(2^2+4) + ...+ 1/(n^2+2n)
求和：
(1) 1 + (1+2) + (1+2+2^2) + (1+2+2^2+2^3) + ...+ (1+2+2^2+...+2^n)
(n属於正自然数集)
(2) 1/(1^2+4) + 1/(2^2+4) + ...+ 1/(n^2+2n)
赞 周白 幼苗
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1.令Sn=1 + (1+2) + (1+2+2^2) + (1+2+2^2+2^3) + ...+ (1+2+2^2+...+2^n)
则Sn=1*（n+1）+2*（n）+2^2*(n-1)+2^3*(n-2)+…+2^(n-1)*2+2^n*1
2Sn= 2*(n+1)+2^2*(n)+2^3*(n-1)+…+2^(n)*2+2^(n+1)*1
2Sn-Sn=-(n+1)+2+2^2+2^3+…+2^n+2^(n+1)=2^(n+2)-n-3
因此Sn=2^(n+2)-n-3
2.1/(n^2+2n)=1/[n(n+2)]=1/2*[1/n-1/(n+2)]
因此所求数列之和为1/2*[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+…+1/（n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)=3/4-1/[2(n+1)]-1/[2(n+2)]
则Sn=1*（n+1）+2*（n）+2^2*(n-1)+2^3*(n-2)+…+2^(n-1)*2+2^n*1
2Sn= 2*(n+1)+2^2*(n)+2^3*(n-1)+…+2^(n)*2+2^(n+1)*1
2Sn-Sn=-(n+1)+2+2^2+2^3+…+2^n+2^(n+1)=2^(n+2)-n-3
因此Sn=2^(n+2)-n-3
2.1/(n^2+2n)=1/[n(n+2)]=1/2*[1/n-1/(n+2)]
因此所求数列之和为1/2*[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+…+1/（n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)=3/4-1/[2(n+1)]-1/[2(n+2)]
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