已知三角形ABC,角C=90度,AC=BC,D为BC上一点,且AB=AC+CD.求证AD平分角CAB.

过D作DE⊥AB于E,交AC的延长线于F,
∵ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴∠B=45°,
∴ΔBDE是等腰直角三角形,∴DE=BE,∠CDF=∠BDE=45°,
∴ΔCDF也是等腰直角三角形,∴∠F=45°,CD=CF,
∵AB=AC+CD=AF,∠AEF=∠ACB=90°,∠F=∠B=45°,
∴ΔAFE≌ΔABC,∴AE=AC,
∴AB-AE=AF-AC,即CF=BE,
∴CD=DE,又∠DCA=∠DEA=90°,
∴AD平分∠BAC(到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上).

三角形ABC,角C=90度,AC=BC,所以
∠A=∠B=45度
在AC的延长线上取点E，使CE=CD，则有
△ACD≌△AEB（AAS）
因为D为BC上一点,且AB=AC+CD.
所以AE=AB,∠CAD=∠CBE
∠ABE=∠BEA=67.5度
所以∠CBE=22.5度
所以∠DAB=∠DAC=22.5度
即AD平分角CAB

做AE=AC, 则BE＝CD

AB=√2AC BE=(√2-1)AC=CD

BC=AC BD=AC-CD=AC-(√2-1)AC=(2-√2)AC

ED^2=BE^2+BD^2-2BE*BD*cosB

=(3-2√2)AC^2+(6-4√2)AC^2-(6-4√2)AC^2

=(3-2√2)AC^2

CD^2=(3-2√2)AC^2

ED=CD AE=AC AD=AD

△AED≌△ACD ∠EAD=∠CAD

故，AD平分角CAB