（1）已知a=（2x-y+1，x+y-2），b=（2，-2），

解题思路：（1）①根据向量平行的坐标表示式，由

a

∥与

b

可得-2（2x-y+1）=2（x+y-2），解之得到实数x=[1/3]，得到使

a

、

b

共线的x、y的值．
②

a

与

b

垂直，且|

a

|=|

b

|，可得

a

=（-2，-2）或

a

=（2，2），由此建立关于x、y的方程组，解出x、y的值，从而得到存在实数x、y，使得

a

⊥

b

且|

a

|=|

b

|，此时xy=-1或xy=3．
（2）根据向量数量积公式算出

m

•

n

=[1/2]，再由向量数量运算性质算出|

a

|=|

b

|=

7

和

a

•

b

=-[7/2]．最后利用向量的夹角公式，可得

a

与

b

的夹角为120°．

（1）①∵

a=（2x-y+1，x+y-2），

b=（2，-2），
∴若

a与

b共线，则-2（2x-y+1）=2（x+y-2），解之得x=[1/3]
因此，当x=[1/3]、y为任意实数时，

a与

b共线；
②若

a与

b垂直，且|

a|=|

b|，则
∵

b=（2，-2），
∴

a=（2x-y+1，x+y-2）=（-2，-2）或

a=（2x-y+1，x+y-2）=（2，2）
即

2x-y+1=-2
x+y-2=-2或

2x-y+1=2
x+y-2=2，解之得

x=-1
y=1或

x=1
y=3
∴xy=-1或xy=3．
因此存在实数x、y，使得

a⊥

b且|

a|=|

b|，此时xy=-1或xy=3．
（2）∵

n和

m是两个单位向量，其夹角是60°，∴

m•

n=|

m|•|

n|cos60°=[1/2]，
∴|

a|²=|2

m+

n|²=（2

m+

n）•（2

m+

n）=4

m²+4

m•

n+

n²=7，同理可得|

b|²=|-3

m+2

n|²=7，
因此，|

a|=|

b|=
7
∵

a•

b=（2

m+

n）•（-3

m+2

n）=-[7/2]．
设

a与

b的夹角为θ，可得cosθ=


a•

b
|

a|•|

b|=-[1/2]
∵θ∈[0°，180°]，∴θ=120°．

点评：
本题考点： 数量积表示两个向量的夹角；平行向量与共线向量．

考点点评： 本题给出向量含有字母的坐标，探索两个向量能否共线或者平行，并且求向量的夹角．着重考查了平面向量的数量积计算公式和平行、垂直的条件等知识，属于中档题．