在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图①)．将△A
| 在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图①)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C(如图②)．  图①  图② (1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′-ADC的体积； (2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l； (3)求证：AD⊥B′E. |
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（1）
（2）见解析（3）见解析
(1)在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O
平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的中点，所以AC＝
，B′O＝
.所以S △ADC ＝
× ×1× ＝
.所以三棱锥B′ADC的体积为V＝
×S △ADC ×B′O＝ .
(2)证明：因为H为B′C的中点，F为CE的中点，所以HF∥B′E.又HF∥平面B′ED，B′E 平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.因为HF 平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.
(3)证明：连结EO，由(1)知，B′O⊥AD.
因为AE＝
，AO＝ ，∠DAC＝30°，
所以EO＝
.
所以AO 2 ＋EO 2 ＝AE 2 .所以AD⊥EO.
又B′O 平面B′EO，EO 平面B′EO，B′O∩EO＝O，
所以AD⊥平面B′EO.
又B′E 平面B′EO，所以AD⊥B′E.
（2）见解析（3）见解析 (1)在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O
平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的中点，所以AC＝
，B′O＝
.所以S △ADC ＝
× ×1× ＝
.所以三棱锥B′ADC的体积为V＝
×S △ADC ×B′O＝ .(2)证明：因为H为B′C的中点，F为CE的中点，所以HF∥B′E.又HF∥平面B′ED，B′E
平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.因为HF 平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.(3)证明：连结EO，由(1)知，B′O⊥AD.
因为AE＝
，AO＝ ，∠DAC＝30°，所以EO＝
.所以AO 2 ＋EO 2 ＝AE 2 .所以AD⊥EO.
又B′O
平面B′EO，EO 平面B′EO，B′O∩EO＝O，所以AD⊥平面B′EO.
又B′E
平面B′EO，所以AD⊥B′E.
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