关于平面向量的数量积 具体题例已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹

在生活中向量也有一些具体表现形式,有关的问题也可以充分利用向量求解.应用问题的解决主要是建立数学模型.用向量、三角、解析几何之间的特殊关系,将生活与数学知识之间进行沟通,使动静转换充实到解题过程之中.一、平面向量在位移与速度上的应用例1 以某市人民广场的中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单位表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向均速前进,6分钟时路过少年宫C,10分钟后到达科技馆B(-3,5).求：此人的位移向量(说明此人位移的距离和方向);此人行走的速度向量(用坐标表示);少年宫C点相对于广场中心所处的位置.(下列数据供选用:tan18°24?＝0.3327,tan18°26?= 13 ,tan2?＝0.0006)分析： ⑴AB的坐标等于它终点的坐标减去起点的坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上单位取百米/小时,故需先将时间换成小时.而速度等于位移除以时间,由三角知识可求出坐标表示的速度向量.⑶通过向量的坐标运算及三角函数公式求解.⑴ AB＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5),|AB|＝(-5)2+52＝52,∠xOB＝135°∴此人的位移为“西北52百米”.⑵t＝10分＝ 16 小时,|V|＝ |AB|t ＝302∴Vx＝|V|cos135°＝－30,Vy＝|V|sin135°＝30,∴V＝(－30,30)⑶∵AC＝ 610 AB,∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)∴|OC|＝10,又tan(18°24?＋2?)＝ 0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13 而tan∠COy＝ 13 ,∴∠COy＝arctan 13 ＝18°26?.∴少年宫C点相对于广场中心所处的位置为“北偏西18°26?,10百米”处.评注：以生活中的位移、速度为背景的向量应用题,首先要写出有关向量,利用向量中的模来求解.本题是向量知识与三角知识的交汇,主要是依托平面向量的模、方位角等通过形和数的相互转化,实现与三角的有机整合,同时考查三角方面的知识和方法及综合解题能力.二、平面向量在力的平衡上的应用例2 帆船是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第2届奥运会开始列为正式比赛项目, 帆船的最大动力来源是"伯努利效应".如果一帆船所受"伯努利效应"产生力的效果可使船向北偏东30?以速度20 km/h行驶,而此时水的流向是正东,流速为20 km/h．若不考虑其它因素,求帆船的速度与方向.分析: 帆船水中行驶,受到两个速度影响: 伯努利效应"产生力的效果为使船向北偏东30?,速度是20 km/h,及水的流向是正东,流速为20 km/h.这两个速度的和就为帆船行驶的速度.根据题意,建立数学模型,运用向量的坐标运算来解决问题.解:如图建立直角坐标系, "伯努利效应"的速度为V1=20 km/h,水的流速为V2=20 km/h,帆船行驶的速度为V,则V=V1+V2.由题意可得向量V1的坐标为(20cos60o,20sin60o)即V1=(10,10 ),向量V2的坐标为V2=(20,0)则帆船行驶速度V的坐标为V=V1+V2=(10,10 )+(20,0)=(30,10 )∴|V|= ,∵tanα= ,α为锐角∴α=30o∴帆船向北偏东行驶.答: 帆船向北偏东60o行驶,速度为203 km/h.评注： 在利用向量的坐标运算解决生活中有关问题时,先根据情况建立向量模型,利用直角坐标系,得到向量的坐标,再按照向量坐标运算法则,得出答案,解决实际问题.三、平面向量的数量积在生活中的应用例3 某同学购买了x支A型笔,y支B型笔,A型笔的价格为m元,B型笔的价格为n元.把购买A、B型笔的数量x、y构成数量向量a=(x,y),把价格m、n构成价格向量b=(m,n).则向量a与b的数量积表示的意义是_______________.解析： 此题根据购卖A、B两种型号的笔的数量与价格构成了一个二元向量a,b.根据向量的数量积的运算公式可得a?b=xm+yn.而xm表示购买A型笔所用的钱数；yn表示购买B型笔所用的钱数.所以向量a与b的数量积表示的意义是购买两种笔所用的总钱