设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an−Sn＝1， n∈N*．

解题思路：（1）2a_n+1-S_n+1=1与2a_n-S_n=1相减，可得数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_n和a_n+1两项之间插入n个数后，可求得dn＝

an+1−an

n+1

＝

2n−1

n+1

，又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，从而可求b₂₀₁₂的值；
（3）依题意，b₁+b₂+b₃+…+b_m=

1

2

[3a1+5a2+7a3+…+(2n+1)an]−

1

2

nan，考虑到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，则2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1，求出M=（2n-1）2ⁿ+1，即可得到结论．

（1）当n=1时，2a₁-S₁=1，∴a₁=1．
又2a_n+1-S_n+1=1与2a_n-S_n=1相减得：a_n+1=2a_n，故数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝2n−1；…（4分）
（2）设a_n和a_n+1两项之间插入n个数后，这n+2个数构成的等差数列的公差为d_n，则dn＝
an+1−an
n+1＝
2n−1
n+1，
又（1+2+3+…+61）+62=1952，2012-1952=60，
故b2012＝a62+(60−1)•d62＝261+59×
261
63＝
61
63×262．…（9分）
（3）依题意，b₁+b₂+b₃+…+b_m=
3(a1+a2)
2+
4(a2+a3)
2+
5(a3+a4)
2+…+
(n+1)(an−1+an)
2−(a2+a3+…+an−1)=[1/2[3a1+5a2+7a3+…+(2n+1)an]−
1
2nan，
考虑到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，则2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1
∴2M-M=-2（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-a₁+（2n+1）a_n+1
∴M=（2n-1）2ⁿ+1，
所以b1+b2+b3+…+bm＝
1
2M−
1
2nan＝(3n−2)•2n−2+
1
2]．…（14分）

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的性质；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意，选择正确的方法是关键．

1.变形sn-2s(n-1)=1n=1,a1=1,先求出sn.sn=2^2s(n-2)+2+1=2^3s(n-3)+2^2+2+1=…=2^(n-1)s1+2^(n-2)+…1=2^(n-1)+2^(n-1)-1=2^n-1,an=sn-s(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)
2.an,a(n+1)插入n个数组成等差数列d=a(n+1)-an=2^(n-1)/(n+1).注意...

2an-sn=1 （1）
2(an-1)-(sn-1)=1 (2)
(1)式－（2）式，得an-2an-1=0