jack3588 幼苗
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(Ⅰ)∵f(x)=x2e-x,∴f′(x)=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),
令f′(x)=0,解得x=0或x=2,
令f′(x)>0,可解得0<x<2;令f′(x)<0,可解得x<0或x>2,
故函数在区间(-∞,0)与(2,+∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数.
∴x=0是极小值点,x=2极大值点,又f(0)=0,f(2)=
4
e2.
故f(x)的极小值和极大值分别为0,
4
e2.
(II)设切点为(x0,x02e−x0),
则切线方程为y-x02e−x0=e−x0(2x0−x02)(x-x0),
令y=0,解得x=
x02−x0
x0−2=(x0−2)+
2
x0−2+3,
因为曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数,∴e−x0(2x0−
x20)<0,∴x0<0或x0>2,
令f(x0)=x0+
2
x0−2+1,
则f′(x0)=1−
2
(x0−2)2=
(x0−2)2−2
(x0−2)2.
①当x0<0时,(x0−2)2−2>0,即f′(x0)>0,∴f(x0)在(-∞,0)上单调递增,∴f(x0)<f(0)=0;
②当x0>2时,令f′(x0)=0,解得x0=2+
2.
当x0>2+
2时,f′(x0)>0,函数f(x0)单调递增;当2<x0<2+
2时,f′(x0)<0,函数f(x0)单调递减.
故当x0=2+
2时,函数f(x0)取得极小值,也即最小值,且f(2+
2)=3+2
2.
综上可知:切线l在x轴上截距的取值范围是(-∞,0)∪[2
2+3,+∞).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;根据实际问题选择函数类型;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域,综合性强,考查了推理能力和计算能力.
1年前
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