（2014•峨眉山市二模）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，

（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
根据题意知A、B、D点的坐标分别是（-1，0）、（3，0）、（0，-3），
则可列方程组

0＝a−b+c
0＝9a+3b+c
−3＝c，
解得c=-3、a=1、b=-2，
∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3（-1≤x≤3）；

（2）设过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=kx-3，
将其代入抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3得
kx-3=x²-2x-3，即x²-（2+k）x=0，
∵△=（2+k）²=0，
∴k=-2，
∴过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3；

（3）由上面知B、D点的坐标分别是（3，0）、（0，-3），
则直线BD的解析式为y=x-3，
∵点F为直线x=m与直线BD的交点，点E为直线x=m与抛物线y=x²-2x-3的交点，
∴点F的坐标为（m，m-3），点E的坐标为（m，m²-2m-3），
∴S_△BDE=S_△BDF+S_△DEF=[1/2×EF×OD+
1
2×EF×DB，
=
1
2×EF×OB，
=
1
2[m−3−(m2−2m−3)]×3，
=
3
2(3m−m2)，
=−
3
2(m−
3
2)2+
27
8]，
又∵0≤m≤3，
∴当m=[3/2]，S_△BDE取最大值[27/8]，点E的坐标为（[3/2，−
9
4]），
∵抛物线的顶点为（1，-4），
∴小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”这样的观点是错误的．
答：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为y=x²-2x-3（-1≤x≤3）．
（2）过点D（0，-3）的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3．
（3）存在这样的点E的坐标为（[3/2，−
15
4]），使△BDE的面积最大为[27/8]；小明同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BDE的面积最大．”这样的观点是错误的．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意动点的取值范围，求三角形面积时注意坐标差值的符号．