设P是椭圆x^2/4+y^2=1上的任意一点,O为坐标原点,F为椭圆的左焦点,点M满足向量OM=1/2(向量OP+向量O
设P是椭圆x^2/4+y^2=1上的任意一点,O为坐标原点,F为椭圆的左焦点,点M满足向量OM=1/2(向量OP+向量OF),则向量OM的模+向量MF的模=
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令椭圆的右焦点为F2. 以OP、OF为邻边作平行四边形OPAF.
由平行四边形法则,有：向量OA＝向量OP＋向量OF,
而向量OM＝（1/2）（向量OP＋向量OF）,∴向量OA＝2向量OM,∴M是OA的中点.
∵OPAF是平行四边形,∴OA、PF互相平分,又M是OA的中点,∴M是PF的中点,
∴MF＝PF/2.
显然,由椭圆方程可知：原点O是椭圆的中心,∴O是FF2的中点.
∵M、O分别是PF、FF2的中点,∴OM是△PFF2的中位线,∴OM＝PF2/2.
由MF＝PF/2、OM＝PF2/2,得：OM＋MF＝（PF＋PF2）/2.
由椭圆定义,有：PF＋PF2＝2a＝2×2＝4,∴OM＋MF＝2.
∴｜向量OM｜＋｜向量MF｜＝OM＋MF＝2.
由平行四边形法则,有：向量OA＝向量OP＋向量OF,
而向量OM＝（1/2）（向量OP＋向量OF）,∴向量OA＝2向量OM,∴M是OA的中点.
∵OPAF是平行四边形,∴OA、PF互相平分,又M是OA的中点,∴M是PF的中点,
∴MF＝PF/2.
显然,由椭圆方程可知：原点O是椭圆的中心,∴O是FF2的中点.
∵M、O分别是PF、FF2的中点,∴OM是△PFF2的中位线,∴OM＝PF2/2.
由MF＝PF/2、OM＝PF2/2,得：OM＋MF＝（PF＋PF2）/2.
由椭圆定义,有：PF＋PF2＝2a＝2×2＝4,∴OM＋MF＝2.
∴｜向量OM｜＋｜向量MF｜＝OM＋MF＝2.
1年前
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1年前3个回答
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