（2013•济南一模）如图，已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，如果点P由C出发沿CA方向向点A匀速运动，同
（2013•济南一模）如图，已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，如果点P由C出发沿CA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t．（单位：s）．（0≤t≤4）解答下列问题：（1）求AC的长；
（2）当t为何值时，PQ∥BC；
（3）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，s=[36/5]cm2；
（4）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）根据勾股定理直接求出AC的长即可；
（2）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；
（3）如图2所示，过P点作PD′⊥AC于点D′，构造比例线段，求得PD′，从而可以得到S的表达式，然后利用s=[36/5]cm2求出即可；
（4）要点是利用（3）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（2）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；
（3）如图2所示，过P点作PD′⊥AC于点D′，构造比例线段，求得PD′，从而可以得到S的表达式，然后利用s=[36/5]cm2求出即可；
（4）要点是利用（3）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（1）∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AC=
82+62=10（cm）；
（2）当PQ∥BC时，
∵CP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BC，
∴[AP/AC]=[AQ/AB]，即[10−2t/10]=[2t/8]，
解得：t=[20/9]，
∴当t=[20/9]s时，PQ∥BC．
（3）如图2所示，过P点作PD′⊥AC于点D．
∴PD′∥BC，
∴[AP/AC]=[PD′/BC]，
即[10−2t/10]=[PD′/6]，
解得：PD′=6-[6/5]t．
S=[1/2]×AQ×PD′=[1/2]×2t×（6-[6/5]t）
=-[6/5]t2+6t=[36/5]
整理得出：
t2-5t+6=0，
（t-2）（t-3）=0，
解得：t1=2，t2=3，
故当t为2或3时，s=[36/5]cm2；
（4）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=[1/2]S△ABC，而S△ABC=[1/2]AC•BC=24，
∴此时S△AQP=12．
由（2）可知，S△AQP=-[6/5]t2+6t，
∴-[6/5]t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，
∵△=（-5）2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
点评：
本题考点： 相似形综合题．
考点点评： 此题考查了相似三角形线段比例关系、勾股定理一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．
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