如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．
如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；
（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．
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（1）设P点到抛物线的准线x=-[p/2]的距离为d，
由抛物线的定义知d=|PF|，
∴（|PA|+|PF|）min=（|PA|+d）min=[p/2]+4，
∴[p/2]+4=8⇒p=8，
∴抛物线的方程为y2=16x．…（6分）
（2）由（1）得F（4，0），设直线l的方程为y=k（x-4），显然k≠0．设M（x1，y1），N（x2，y2），
把直线方程代入抛物线，得k2x2-（8k2+16）x+16k2=0，
x1+x2=
8k2+16
k2，x1•x2=16，
∴|MN|=
1+k2×
(x1+x2)2−4x1x2
=
1+k2×
(
8k2+16
k2)2−64=
1+k2×
由抛物线的定义知d=|PF|，
∴（|PA|+|PF|）min=（|PA|+d）min=[p/2]+4，
∴[p/2]+4=8⇒p=8，
∴抛物线的方程为y2=16x．…（6分）
（2）由（1）得F（4，0），设直线l的方程为y=k（x-4），显然k≠0．设M（x1，y1），N（x2，y2），
把直线方程代入抛物线，得k2x2-（8k2+16）x+16k2=0，
x1+x2=
8k2+16
k2，x1•x2=16，
∴|MN|=
1+k2×
(x1+x2)2−4x1x2
=
1+k2×
(
8k2+16
k2)2−64=
1+k2×
1年前
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